除數函數

5、6年級 探討因數關係的活動


除數函數: σ(n ) 為整數n的所有因數總和
比如: σ(9 ) = 1+3+9 = 14   , σ(15 ) = 1+3+5+15= 24

而 aliquot sum s(n)  是n以外所有因數總和
比如: s(9 ) = 1+3 = 4   , s(15 ) = 1+3+5= 9


計算一個數字的 aliquot sum ，再計算得出來數字的 aliquot sum，可以得到一串數列
比如 s(15 ) =9  ->s(9 ) =4 -> s(4 ) =3 -> s(3 ) =1

活動:
1.讓學生試著畫出 30以下所有數字的 aliquot sum 形成的數列

下圖是我畫出來的結果，
橘色表示aliquot sum 比原本的數字小 (不足數)
藍色表示aliquot sum 比原本的數字大 (過剩數)
紅色表示aliquot sum 和原本的數字相同 (完全數)


畫完後請學生觀察、探討圖形的關係

可以提出很多問題，如:
1. 甚麼時候s(n) =1 ?
2. 上圖中的過剩數都是偶數，存在奇數的過剩數嗎？
3. 存在奇數的完全數嗎？
4. 一定會在某個時候跑到 1或者某個完全數嗎？有沒有可能是無止盡的數列？
5. 甚麼樣的數字是完全數？ 甚麼樣的數字aliquot sum 是完全數？
6. s(n) =n-1時稱為 槪完全數，什麼樣的數字是槪完全數？



其他名詞:
s(n) =n+1 準完全數， s(n) =kn 倍完全數, σ(σ(n)) = 2 n 超完全數, σ(n) =σ(m) =n + m 友愛數





一個奇數的過剩數: 1575。
存在更小的奇數過剩數嗎？